PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

ESTADISTICA

Ciencia que estudia la recolección, análisis interpretación de datos, para explicar condiciones regulares e irregulares de algunos fenómenos.

Estadística descriptiva: disciplina que almacena, ordena recoge realiza tablas o gráficos y calcula parámetros.

Estadística inferencial : permite hacer deducciones o conclusiones sobre el objeto de estudio

ELEMENTOS ESTADISTICOS

Población
Muestra
Dato
Variable y sus tipos

Población: conjunto de elementos objeto de estudio. La muestra es un subconjunto de la población y tiene que ser representativa de la misma. La variable estadística es la propiedad o característica de la población que estamos interesados en estudiar.

Muestra:es un subconjunto de elementos de la población estadística. El mejor resultado para un proceso estadístico sería estudiar a toda la población. Pero esto generalmente resulta imposible, ya sea porque supone un coste económico alto o porque requiere demasiado tiempo.

Dato: es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico.

Variable:es una característica (magnitud, vector o número) que puede ser medida, adoptando diferentes valores en cada uno de los casos de un estudio. Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera.

tipos:

Variable cualitativa

Las variables cualitativas son aquellas características o cualidades que no pueden ser calculadas con números, sino que son clasificadas con palabras.

Este tipo de variable, a su vez, se divide en:

Cualitativa nominal: aquellas variables que no siguen ningún orden en específico. Por ejemplo, los colores, tales como el negro, naranja o amarillo.
Cualitativa ordinal: aquellas que siguen un orden o jerarquía. Por ejemplo, el nivel socioeconómico alto, medio o bajo.
Cualitativa binaria: variables que permiten tan solo dos resultados. Por ejemplo, sí o no; hombre o mujer.

Variable cuantitativa

Las variables cuantitativas son aquellas características o cualidades que sí pueden expresarse o medirse a través de números.

Este tipo de variable, a su vez, se divide en:

Cuantitativa discreta: aquella variable que utiliza valores enteros y no finitos.
Cuantitativa continua: aquella variable que utiliza valores finitos y objetivos, y suele caracterizarse por utilizar valores decimales.

Tabulación de datos: consiste en presentar los datos estadísticos en forma de tabla o cuadros.

N: tamaño de la población estudiada

n: tamaño de la muestra ( parte de la población)

Tabulación de datos cualitativos:Frecuencia absoluta (F¡): cantidad de veces que se repite un atributo

Tabulación variable cuantitativa

Frecuencia absoluta (F¡): Número de veces que se repite una variable.

Tamaño de la muestra(n): cantidad de elementos que conforman la muestra, la cual se obtiene sumando todas las frecuencias absolutas.

( m) número de clases distintas.

Frecuencia relativa:proporción de datos que se encuentran en una clase, se calcula con el cociente de la frecuencia absoluta de algún valor de la población/ muestra.

Frecuencia absoluta acumulada: datos que se encuentran en cierta clase, es el resultado de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas o relativas, desde el menor al mayor de sus valores.
Frecuencia relativa acumulada : proporción de datos acumulados que se encuentran hasta cierto punto, es el cociente de la frecuencia acumulada de un valor determinado y el número total de datos.

Tabulación de variable continua o discreta

Para ello se necesita lo siguiente:

Rango o recorrido: diferencia entre el valor máximo y el mínimo de un conjunto de datos

Rango de edades de un equipo de fútbol donde el jugador más mayor tienes 31 y el más joven 18, por lo tanto el rango es:

Número de intervalos o clases(m): número de grupos en los que es posible dividir los valores de la variable, el número de clases no debe ser tan grande pero tampoco tan pequeño.

Regla de sturges: aproximación razonable para el número de clases, es muy utilizada cuando se quiere realizar un histograma de frecuencias

N es el número de muestras a representar y K el número óptimo de clases o intervalos

Amplitud de intervalo:cantidad de valores que recoge el intervalo

A=recorrido÷numero de clases

=R÷m

Límites de un intervalo: valores extremos de una clase, el valor menor es considerado como límite inferior, y el valor que se obtiene sumando al límite inferior la amplitud del intervalo es el inferior de la segunda clase.

Límites reales de un intervalo: se obtiene calculando el promedio entre el límite superior de una clase y el límite inferior de la clase siguiente.

Marca de clase(X¡): Punto medio de cada intervalo

Frecuencia absoluta(F¡):número de observaciones que pertenecen a un intervalo

Frecuencia relativa(h¡): Proporción de datos que se encuentran en un intervalo, se determina midiendo la frecuencia absoluta del intervalo por el tamaño de la muestra

Frecuencia absoluta acumulada (F¡): Número de datos de la muestra menores o iguales al límite real superior del intervalo.

Frecuencia relativa acumulada(H¡): Proporción de datos de la muestra menores o iguales al límite real superior del intervalo

NOTA: LOS VIDEOS SON PARA ACLARAR DUDAS Y PARA CORROBORAR LA INFORMACIÓN QUE SE MOSTRO

Descripción grafica de un conjunto de datos

En la estadística, las descripciones de los conjuntos de datos, nos proporciona métodos gráficos y tabulares para organizar y resumir datos, para luego usar dicha información y sacar conclusiones, de modo que, si queremos determinar su significación, rápidamente se pueda tener una idea de las características esenciales de los datos.

La importancia de tratar estos temas radica en que siempre que se aborde un problema desde el punto de vista de la Estadística, con el fin de hacer generalizaciones e inferencias sobre la población, será necesario tomar como base muestra de la población en estudios y describirlas. Los primeros pasos del proceso son la organización, distribución y descripción de datos. La distribución de los datos puede hacerse de forma numérica y gráfica.

La representación tabular y gráfica de los datos asociados a las diferentes variables nos son familiares las tablas de frecuencias: relativas y acumuladas; y los gráficos: histograma, polígono de frecuencia, barras, sectores etc.

Tablas de frecuencia. - Colocan todos los datos en clases específicas.

ESTADO CONYUGAL DE LOS ORENSES

Visualizaciones gráficas. - Permiten subministrar una clara representación visual de los datos.

ESTADO CONYUGAL DE LOS ORENSES

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente o descendentemente, de acuerdo a la frecuencia de cada dato.

La representación gráfica de una tabla de frecuencias permite percibir con mayor claridad algunas características de la cantidad de datos que se investiga. Por ello, a través de gráficos, resulta bastante más fácil transmitir conclusiones a personas no habituadas a la interpretación de tablas de frecuencias.

Para representar gráficamente una distribución de frecuencias se utiliza un par de ejes de coordenadas. En el eje de las abscisas se representará la variable estudiada y en el eje de las ordenadas, las correspondientes frecuencias. Las frecuencias pueden ser:

Frecuencia absoluta. - La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

La suma de las frecuencias es igual al número total de datos, que se representa por N.

Frecuencia acumulada. - La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Frecuencia relativa. - La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. La frecuencia es igual a la unidad.

para poder hacer el llenado de la tabla de frecuencias y sacar la distribución de datos es necesario:

ordenar los datos de mayos a menos
sacar el recorrido o rango (valor máximo menos valor mínimo)
-numero de intervalos o clases (se determina con la raíz cuadrada del número de datos)
amplitud del intervalo (Se divide el rango en la cantidad de intervalos que se desea tener)
identificar los extremos de los intervalo, tomando en cuenta el intervalo menos un poco mas bajo y el intervalo mayor un poco mas alto.
calcular los extremos por cada intervalo de clase, sumando la amplitud del intervalo.
se determinan las marca de clase, sumando al limite inferior la mitad de la amplitud.
frecuencia absoluta (contando el numero de observaciones que se encuentran en el limite inferior o superior)
frecuencia absoluta absoluta acumulada (se suma la frecuencia absoluta correspondiente mas todas las anteriores)
frecuencia relativa (dividir la frecuencia absoluta de cada clase para el total de observaciones)
frecuencia relativa acumulada (se suma la frecuencia relativa correspondiente mas todas las anteriores)

EJEMPLO:

TABLAS DE FRECUENCIA CON DATOS AGRUPADOS.

Las distribuciones de frecuencias están basadas en la reducción de datos mediante la agrupación de los mismos que se presentan mediante las tablas estadísticas que son agrupaciones de datos ordenados con arreglo a un criterio lógico, procesos que se denominan tabulación.

Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentra ordenada en clases y con la frecuencia en cada clase; es decir, los datos originales de varios valores del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase.

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables tienden a grandes valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Clase o Intervalo de clase. - Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente.

Límites de la clase. - Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase(c). - La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase (Xm). - La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo.

EJEMPLO: En el barrio Miguel Concha Álvarez de la ciudad de Santa Rosa, se encuesto la edad de las personas que habitan en este barrio. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

DIAGRAMA DE BARRAS: Es la representación gráfica usual para variables cuantitativas discretas o para variables cualitativas. En el eje de ordenadas representamos los diferentes valores de la variable (xi). Sobre cada valor levantamos una barra de altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa).

DIAGRAMA DE SECTORES O DE PASTEL: Es el más usual en variables cualitativas. Se representan mediante círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcional a su frecuencia.

Gráficos para variables continuas

HISTOGRAMA: Es la representación gráfica de las frecuencias agrupadas de una variable continua sobre intervalos. A diferencia de los diagramas de barras, los histogramas dibujan rectángulos unidos entre sí, lo que significa que existe continuidad en la variable cuyos valores se representan en el eje horizontal que se halla dividido en intervalos de igual amplitud. Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias que representan.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS. -Es la representación gráfica que se realizan trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

HISTOGRAMAS Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS. - Se realizan trazando los puntos formados las marcas de clase y las frecuencias, y uniéndolos mediante segmentos. También se puede construir el polígono de frecuencia uniendo los puntos medios de cada rectángulo de un histograma.

Ejemplo:

Suponga que un investigador desea determinar cómo varía el peso de un grupo de estudiantes de primer semestre de una universidad. Selecciona una muestra de 50 estudiantes y registra sus pesos en kilogramos. Los datos obtenidos fueron los siguientes:

65 63 65 63 69 67 53 58 60 61

64 65 64 72 68 66 55 57 60 62

64 65 64 71 68 66 56 59 61 62

63 65 63 70 67 66 57 59 61 62

64 64 63 69 67 66 58 60 61 62

Este diagrama facilita determinar la cantidad de veces que se repite un dato y los valores de los datos con el fin de escribirlos de manera ordenada en la tabla.

Para construir la tabla de datos no agrupados se debe calcular primero lo siguiente:

Número de clases

Rango

Amplitud de clase

Punto medio: mi es el valor central de la clase. Se obtiene calculando el promedio de los límites reales, sumando al límite real inferior el límite real superior y dividiendo por dos.

Frecuencia absoluta. Se define como el número de elementos u observaciones pertenecientes a una misma clase.

Frecuencia relativa: Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el número total de observaciones. Indica la importancia relativa de la clase.

Frecuencias acumuladas: Es la suma de las frecuencias absolutas o relativas en sentido ascendente o descendente según se quieran acumular “hacia arriba” o “hacia abajo”

Al construir la tabla de datos agrupados con la información del ejemplo, se tiene:

Tabla de datos agrupados

	Punto medio	Frecuencia absoluta	Frecuencia absoluta acumulada	Frecuencia relativa	Frecuencia relativa acumulada
Pesos (Kg)	m_i	f _i	F _i	fr _i	Fr _i
53 - 55	54	2	2	4,00%	4,00%
56 - 58	57	5	7	10,00%	14,00%
59 - 61	60	9	16	18,00%	32,00%
62 - 64	63	15	31	30,00%	62,00%
65 - 67	66	12	43	24,00%	86,00%
68 - 70	69	5	48	10,00%	96,00%
71 - 73	72	2	50	4,00%	100,00%
		50		100,00%

grado de variabilidad

Rango valor máximo menos valor mínimo

Varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. También se puede calcular como la desviación típica al cuadrado.

Desviación estándar Calcular la media o promedio de cada conjunto de datos. Para ello, se suman todos los números en un conjunto de datos y se divide por el número total de piezas de datos. Por ejemplo, si se han encontrado números en un conjunto de datos, dividir la suma por 4

Coeficiente de varianza dividiendo la desviación estándar del conjunto entre su media aritmética y se expresa generalmente en términos porcentuales.

Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Se simboliza por D x ¯ y se calcula aplicando la fórmula. + | x N − x ¯ | N Informa de lo muy dispersados (o no) que están los datos.

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Las variables

Son todo aquello que pueda afectar el resultado de una estudio científico

describe exactamente cuáles son las variables y la forma en que se miden en el contexto de estudio

estas propiedades o características de los fenómenos nos son constante si no que muestran variaciones significativas

Variable cualitativa: cuando la característica objeto de estudio en el numérico se denomina variable cualitativa como por ejemplo el sexo religión tipo de automóvil provincia de nacimiento o los ojos de color cuando los datos son cualitativos lo que interesa saber la proporción que existe en cada categoría.

Variables dicotómicas:

Existen dos modalidades

Verdadero/ falso

Hombre/ mujer

Variables politómicas:

Más de 2 modalidades

Jerarquía laboral, estudios realizado

Variable cuantitativa:

Cuando la variable estudiar a puede ser explicado numérica- mente

cómo por ejemplo el saldo de una cuenta de cheques las edades de los presidentes la vida de batería de un automóvil y así mismo el número de hijos de una familia

Variable cuantitativa discreta:

Es aquella que puede asumir un número contable de valores.

Ejemplos : el número de hijos de una familia

El número de faltas aún partido de fútbol

El número de canales que tienes en casa

Número de animales en una granja

Número de clientes que visitan un supermercado por día

Variable cuantitativa continua:

Es aquella que puede asumir un número en contable de valores

Ejemplo

La estatura de un amigo

El volumen de agua de una piscina

La velocidad a la que va un tren

Peso de las vacas de una granja

En diámetro de un esfera

Variable independiente:

Su valor no depende de otra variable suele representarse por la letra x

la variable independiente se representa en el eje de las abscisas mientras que la variable dependiente aparece en el eje de las ordenadas

el valor de la variable independiente se fija libre y previamente y es a partir de esta variable cuando se genera la variable dependiente

Variable dependiente:

Es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable se suele representar por la letra Y. es decir el valor que en cada caso toma la variable dependiente está supeditado depende de ese valor arbitrario que se le haya asignado a la variable independiente

PROBABILIDAD

BLOQUE I

probabilidad: La probabilidad se refiere a la mayor o menor posibilidad de que ocurra un suceso. Su noción viene de la necesidad de medir la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no. Esta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles.

conjuntos

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.

unión: En la teoría de conjuntos, la unión de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales.

el símbolo es U y es llamado copa.

La unión de A y B se denota . En diagramas se representan primero todos los elementos en sus respectivos conjuntos y luego se colorea todo el diagrama.

ejemplo:

Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo: {1, a, ♠} y {b, a, 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a, ♠, b, 5} tiene cinco elementos y no seis.

intersección: La Intersección de dos o más conjuntos es el conjunto formado por los elementos que tienen en común ambos conjuntos. La intersección de A y B se denota. En diagramas se representan primero todos los elementos en sus respectivos conjuntos y luego se colorea la zona que pertenece a ambos conjuntos.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disyuntos

y se representa S ∩ D = Ø.

El símbolo con el que se representa la intersección es este: ∩ se llama capa

por ejemplo:

F = {Amarillo, Azul, rojo, verde. morado}

G = {verde, café, rosado, negro, gris, rojo}

ENTONCES F ∩ G = { verde, rojo} ya que son los elementos que se repiten en ambos conjuntos.

A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}

diferencia: La diferencia de dos conjuntos (A - B) es la operación que nos permite obtener un nuevo conjunto que agrupe a todos los elementos de A que no pertenecen a B. Si un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B", entonces la diferencia de los conjuntos "A - B", es igual al conjunto vacío.

Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:

A – B = { b, c, d }

A la derecha, se representa dicha diferencia.

incompatibles:Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden verificarse ambos a la vez, es decir si . De hecho, si dos sucesos son incompatibles y no tienen probabilidad nula, automáticamente son dependientes.

Dos sucesos se dicen compatibles si tienen algún suceso elemental común. En este caso A∩B≠Ø, pueden ocurrir a la vez.
Dos sucesos se dicen incompatibles si no tienen ningún suceso elemental común, en este caso A∩B=Ø y no pueden ocurrir a la vez

Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos incompatibles no siempre son contrarios.

ejemplo:

Suceso A = salir un número par = {2, 4, 6}
Suceso B = salir un número impar = {1, 3, 5}
Ambos sucesos no tienen sucesos elementales en común, por lo que son incompatibles.

evento: En la teoría de la probabilidad, un evento aleatorio o fuente de sucesos aleatorio es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un posible pero muy lejano experimento aleatorio.

ejemplo: Por ejemplo, “sacar cara” en el lanzamiento de una moneda, “sacar el número 5” o “sacar un número primo” en el lanzamiento de un dado son sucesos.

Técnicas de conteo

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Diagrama de árbol: Un diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución.

como hacerlo:

Paso 1: Definiendo el grupo de trabajo.
Paso 2: Definiendo el elemento central.
Paso 3: Las ramas de primer nivel.
Paso 4: Primer verificación.
Paso 5: Repetimos paso 3 y 4.
Paso 6: Verificación final.
elementos: Normalmente, la estructura de un diagrama de árbol consta de elementos como nodo raíz, un miembro que no tiene superior/padre. Luego están los nodos, que están conectados entre sí con conexiones de línea llamadas ramas que representan las relaciones y conexiones entre los miembros.
diagrama de venn: Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos.
Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen para ilustrar similitudes, diferencias y relaciones entre conceptos, ideas, categorías o grupos. Las similitudes entre los grupos se representan en las partes de los círculos que se superponen, mientras que sus diferencias se representan en las partes que no lo hacen.
De un grupo de 100 alumnos, 47 no han escogido informática como optativa, 56 no han escogido teatro como optativa y 27 no han escogido ni informática ni teatro. ¿Cuántos alumnos han escogido sólo un curso?
En primer lugar dibujamos el diagrama de Venn, con los dos conjuntos, informática y teatro, e indicando que el conjunto universal es igual a 100 alumnos:
En estos tipos de ejercicios la clave está en ubicar los datos del enunciado dentro del diagrama de Venn.
En este caso, el primer dato que vamos a ubicar son los 27 alumnos que no han escogido ninguno de los dos cursos, que corresponde a la zona 4 que hago referencia en la teoría de la lección:
He empezado por este dato porque sin él, no es posible ubicar el resto de datos del ejercicio.
Ahora vamos a ubicar los alumnos que no han escogido informática. Para ello, coloreo los alumnos que sí han escogido informática y lo que me queda, debe ser igual a 47 alumnos. Como ves, me quedan los 27 alumnos que no han escogido ningún curso y los alumnos que han escogido sólo teatro y como no conozco su valor, le llamo x:
Por tanto, los 47 alumnos que no han escogido informática, será igual a x alumnos que han escogido sólo teatro más los 27 que no escogieron nada:
De esta ecuación despejamos x y me queda:
Por tanto, tenemos que 20 alumnos escogieron sólo teatro.
Seguimos ubicando los alumnos que no han escogido teatro. Para ello, coloreo los alumnos que sí han escogido teatro y lo que me queda, debe ser igual a 56 alumnos. Como puedes observar, me quedan los 27 alumnos que no han escogido ningún curso y los alumnos que han escogido sólo informática, que como no conozco su valor, le llamo «y»:
Los 56 alumnos que no han escogido teatro, será igual a «y» alumnos que han escogido sólo informática más los 27 que no escogieron nada:
De esta ecuación despejo «y»
Por tanto, tenemos que 29 alumnos escogieron sólo informática, que lo añado en el diagrama de Venn:
Me preguntan cuántos alumnos han escogido sólo un curso, que será la suma de los alumnos que escogieron sólo informática más los alumnos que escogieron sólo teatro:
Por tanto, 49 alumnos han escogido sólo un curso.
permutaciones y combinaciones: Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos. Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no. Dos eventos son dependientes si el estado original de la situación cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento.
Podemos dividir el número de permutaciones entre 6 y obtener el número de combinaciones. Esto es válido en general: Para encontrar el número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, dividir el número de permutaciones de escoger k de n objetos entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos.
Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden. El número de permutaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula:
Ejemplo 1:
Eduardo, Carlos y Sergio se han presentado a un concurso de pintura. El concurso otorga $200 al primer lugar y $100 al segundo. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?
Solución:
En este caso, si importa el orden, ya que no es lo mismo quedar en primer lugar que en segundo, además, los premios son diferentes. Por ejemplo, un arreglo o disposición, es que Carlos ocupe el primer lugar y Sergio el segundo. Otro arreglo, sería que Sergio ocupe el primer lugar y Eduardo el segundo. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:
Combinaciones
Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden.
El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula:
Ejemplo 2:
Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?
Solución:
En este caso, no importa el orden en que se tomen los ingredientes para la ensalada, pues da igual si es una ensalada de tomate con zanahoria, que una ensalada de zanahoria con tomate, ya que al final, el chef mezclará los dos ingredientes.
Un arreglo podría ser zanahoria y tomate, otro arreglo podría ser tomate y papa, otro arreglo podría ser papa y brócoli. El problema nos indica que solo se pueden usar 2 ingredientes en la ensalada. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:

principios multiplicativos y aditivos:El principio multiplicativo, junto con el principio aditivo, permiten resolver problemas que consisten en calcular cuantas agrupaciones que cumplan con ciertas condiciones que se pueden formar, a partir de ciertos elementos dados.

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Si un evento A se puede realizar de «m» formas diferentes y luego se puede realizar otro evento B de «n» formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir A y B es igual a m x n. Es decir, ambos eventos se realizan, primero uno y luego el otro. El «y» indica multiplicación.

Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y 3 camisas?

Para vestirse, la persona se pone el pantalón y luego la camisa, es decir tiene 3 x 3 = 9 opciones diferentes de vestirse.

Principio de la adición

Si un evento «A» se puede realizar de «m» maneras diferentes, y otro evento «B» se puede realizar de «n» maneras diferentes, además, si ocurre uno no puede ocurrir el otro, entonces, el evento A o el evento B, se realizarán de m+n formas. Es decir, aquí ocurre A o ocurre B. El «o» indica suma.

Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede cruzar un río, sabiendo que se dispone de 3 botes y 4 barcos?

El río se puede cruzar en bote o en barco, es decir, tiene 3 + 4 = 7 opciones diferentes para cruzar el río. El río se cruza en bote o en barco.

eventos: En la teoría de la probabilidad, un evento aleatorio o fuente de sucesos aleatorio es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un posible pero muy lejano experimento aleatorio.

mutuamente excluyentes: En el ámbito de la lógica y de la teoría de la probabilidad dos proposiciones son mutuamente excluyentes o disjuntos si ambos no pueden ser verdaderos.

Lanzar una moneda y: Obtener cara. Obtener sello.
Sacar una carta de un mazo y: Sacar un as. Sacar un 7. Sacar una reina. etc.
Sacar una una canica de color de una bolsa y: Sacar una canica roja. Sacar una canica azul. Sacar una canica verde. etc.
dependientes: Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento, así que la probabilidad es cambiada. Ejemplo : La segunda oportunidad es un evento dependiente. Depende de lo que paso en la primera oportunidad.
Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos.
independientes: En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.
Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos.